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Asymptotically Optimal Sampling-based Kinodynamic Planning

論文 Robotics Robotics-Planning

Yanbo Li, Zakary Littlefield, Kostas E. Bekris IJRR, 2016 https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/0278364915614386?journalCode=ijra https://arxiv.org/pdf/1407.2896.pdf

Stable Sparce RRT(SST)に関する論文

Abstract

サンプリングベースのアルゴリズムは、高次元の運動計画のための実用的な解決策と見なされています。最近の進歩はランダム幾何学的グラフ理論を利用して、これらの方法で漸近的最適性もどのように達成できるかを示しています。ダイナミクスを含むシステムでこの望ましい特性を実現するには、基礎となる動的システムの状態空間で2点境界値問題（BVP）を解く必要があります。しかしながら、実用的ではないにしても、ロボットの様々な重要な動的モデルまたは物理的にシミュレートされたモデルに対してBVPソルバーを生成することは困難です。したがって、BVPソルバーにアクセスせずにシステムを計画する際に最適性の保証を達成することさえ可能であるかどうかという、オープンな課題がありました。この作業は、上記の問題を解決し、インクリメンタルサンプリングベースのプランナーを使用して新しい厳密なフレームワークを導入することによって、キノダイナミック計画の漸近的最適性を達成する方法について説明します。この分析の結果、STABLE_SPARSE_RRT（SST）とSST *の2つの新しい方法が得られます。これらはそれぞれ漸近的に最適に近いものと最適です。これらの技法は、スパースなサンプルのセットのみを維持しながら、高速で高品質のパスに収束することが示されているため、計算効率がよくなります。プランナーの優れた性能は、動的システムベンチマークと物理的にシミュレートされたロボットを使用した実験結果によって確認されます。

1.Introduction

Kinodynamic Planning: 多くの興味深いロボットにとって、根本的なダイナミクスを考えると、衝突のない経路を実行可能な経路に適応させることは困難です。このクラスのロボットには、高速の地上移動体（Likhachev＆Ferguson（2009））、固定翼飛行機のような無人航空機（Richter et al。（2013））、またはバランスや移動を含む動力を備えた多関節ロボットが含まれます。システム（Kuindersma et al。（2014））。原則として、それらの構成の二次導関数（例えば、加速度、トルク）によって制御され、ドリフトを示すほとんどのロボットは、それらの制御性を考慮して軌道計画のための分離アプローチによって扱うことができない（Laumond et al。（1998）、Choset）。他（２００５））。このような課題を解決するために、基底システムの状態空間内で衝突のない実行可能な軌跡を直接探索することを含む、キノダイナミクス計画のアイデアが提案されました（Donald et al。（1993））。これは、より高次元の空間を検索し、ダイナミクスから生じる基礎となる流れを尊重することを含むため、キネマティックパスプランニングよりも難しい問題です。その重要性を考えると、しかし、それはロボット工学界で多くの注目を集めています。この研究の焦点は、キノダイナミクスの課題に対する人気のあるサンプリングベースのモーションプランナーの特性にある（Kavrakiら（1996）、LaValle＆Kuffner（2001a）、Hsuら（2002）、Karaman＆Frazzoli（2011）。 ）

Sampling-based Motion Planning: サンプリングベースのアプローチは、比較的高次元の運動計画の課題に対する実行可能な経路を迅速に見つけるための実用的な解決策であることが示されている（Kavrakiら（1996）、LaValle＆Kuffner（2001a）、Hsuら（2002））。最初の一般的な方法論である確率論的ロードマップ法（PRM）（Kavraki et al。（1996））は、キネマティックシステムの構成空間を前処理して次の目的に使用できるロードマップを生成することに焦点を当てていました。 すぐに複数の質問に答えます。 RRT-Extend（LaValle＆Kuffner（2001a））やEST（Hsu et al。（2002））などのツリーベースの亜種は、キノダイナミクスの問題への対処に焦点を当てていました。これらすべての方法について、提供される保証は確率的完全性、すなわち、もし存在する場合に解を見つける確率が1に収束するまで緩和される（Kavrakiら（1998）、Hsuら（1998）、Ladd＆Kavraki（ 2004））。モーションプランニングの難しさと次元性の呪いを考えると、これはコミュニティの十分な目的と見なされていました。しかし最近になって、焦点は実現可能な解決策の提供から高品質の解決策の達成へと移ってきた。マイルストーンは、サンプリングベースのアルゴリズムが漸近的に最適である条件の識別です。これらの条件は、ランダムな幾何学的グラフの結果に基づく基礎となるロードマップの接続性に関連しています（Karaman＆Frazzoli（2011））。この一連の作業は、PRM やRRT のような運動計画のための漸近的に最適なアルゴリズムを提供した（Karaman＆Frazzoli（2010））。

Lack of a BVP Solution: 運動計画ロードマップの生成に対する要求は、ステアリング機能の存在である。この関数は、障害物がない場合の2つの状態間の最適経路を返します。動的システムの場合、ステアリング機能は2点境界値問題（BVP）の解に対応します。この問題に取り組むことは、微分方程式を解くことに対応し、同時に特定の境界条件も満たします。しかし、多くの興味深い動的システムに対してBVP解を作成することは容易ではありません。そのため、漸近的に最適なPRM を含むロードマッププランナーをキノダイナミクス計画に使用することはできません。残念なことに、RRT は、木のデータ構造を生成するとしても、基礎となるロードマップを推論するため、ステアリング機能も必要です。場合によっては、線形化されたダイナミクスのバージョンを計画する（Webb＆van Den Berg（2013））か、BVP問題に数値近似を使用するだけで十分ですが、このアプローチは一般的な解決策ではありません。さらに、システムが物理エンジンを使用してシミュレートされる、重要なクラスの計画上の課題には簡単には対処できません。この状況では、計画プロセスに利用可能なプリミティブは、物理エンジンを使用したダイナミクスの順方向伝播です。したがって、運動計画コミュニティにとっての未解決の問題は、ダイナミクスの順方向伝播モデルへのアクセスのみを考慮して最適性を達成することさえ可能であるかどうかであった。

Summary of Contribution: 本稿では、キノダイナミクス計画のさまざまな課題に対するツリーデータ構造を構築するインクリメンタルサンプリングベースのアルゴリズムの特性を分析するための新しい方法を紹介します。 この分析は、計画者がシステムのダイナミクスの順方向伝播モデルにしかアクセスできない場合に、漸近的最適性を達成できる条件を提供します。 その推論は、Chowの条件が成り立つ非ホロノミックシステムの確率的完全性と漸近的最適性を論じるためのキノダイナミックシステムのアクセシビリティ特性と確率論に基づいており、BVP解の必要性を排除します。 これらの結果に基づいて、キノダイナミックプランニングのための一連のサンプリングベースのプランナーが検討されます。 a）NAIVE_RANDOM_TREEと呼ばれる、ツリーデータ構造をランダムに拡張するESTの単純化：漸近的に最適であるが高品質のパスへの良好な収束がないため実用的ではないことが示されています。

b）RRT-BestNear（Urmson＆Simmons（2003））と呼ばれるRRTの既存のバリエーションにインスパイアされたアプローチで、パスコストの良い到達可能な状態の伝播を促進します。漸近的に最適に近いことが示されています。高品質のパスへの実用的な収束率が、RRTのそれよりも高い反復あたりのコストがあります。

c）提案アルゴリズムSTABLE_SPARSE_RRT（SST）とSTABLE_SPARSE-RRT （SST ）。これらはBestNear選択プロセスを使用します。それらは、格納されているノードの数を少なくするために剪定操作を適用します。それらは、それぞれ漸近的な近最適性と最適性を達成することができます。それらはまた、高品質の経路への良好な収束率を有する。 SSTは、枝刈り操作が与えられた場合の最適以下のRRTと比較して、反復あたりのコストを削減しました。これにより、最近傍の検索が高速化されます。

キネマティックポイントシステムに対して提案されているSSTの性能の説明図を図1に示します。これは、RRT *との比較が可能な場合の単純な課題です。これは、RRTが通常、最適なクラスの同位体クラスのパスを返さないという問題です。 SSTは、スパースデータ構造を維持しながら、これを実行できます。図２は、ＲＲＴに対する振り子システムの位相空間の探索におけるＳＳＴの様々な構成要素の性能を説明している。振り子システムにステアリング機能を利用する方法はありません。効率的なRRTと漸近的に最適なRRTに関するSSTとSSTの望ましい特性の要約は表1にあります。

Paper Overview: 次のセクションでは、文献とこの論文の相対的な貢献についてのより包括的なレビューを提供します。それから、セクション3は公式に考慮された問題と提案されたアルゴリズムのための望ましい特性が成り立つ一連の仮定を特定します。セクション4では、キノダイナミックプランニングの文脈で漸近的な最適性と効率を達成するために、サンプリングベースのアルゴリズムをどのように適応させる必要があるかをまず概説します。この概要に基づいて、SSTとSST の説明、および付随する最近傍データ構造を提供します。これにより、ノードを削除してスパースツリーを実現できます。 RRT との比較が可能なキネマティックシステムを含む一連のシステムでのシミュレーション結果と、興味深いダイナミクスのベンチマークがセクション5で利用可能です。 6.物理的にシミュレートされたシステムも同じセクションで検討されています。最後に、この論文は第7節での議論で終わります。

2.Background

Planning Trajectories: 実際のロボットの軌道計画は、動力学（例えば、摩擦、重力、力の限界）を考慮に入れることを必要とする。それは分離されたアプローチ（Bobrow et al。1985、Shiller＆Dubowsky 1991）または直接計画によって達成することができます。後者の方法は動的システムの状態空間を直接探索する。駆動不足の非ホロノミックシステム、特に小時間ローカル制御可能（STLC）ではないシステムには、直接計画アプローチが好ましい。 ここでの焦点は、STLCではなく、ローカルで短時間でアクセス可能なシステムにあります（Chow 1940/1941）。直接計画のための関連文献では、以下の方法論が検討されています。

  • 最適制御を適用することができる（Brockett 1982、Lewis＆Syrmos 1995）が、単純なシステムしか扱えない。代数解は主に2次元点質量システムに利用できます（O’Dunlaing 1987、Canny et al。1991）。

  • 数値最適化（Fernandes et al。1993、Betts 1998、Ostrowski et al。2000）を使用することはできますが、それは大域的な軌道に対しては費用がかかり、また極小値を被ります。非常に動的な問題はまだ挑戦的ですが、この方向に沿って進歩がありました（Zucker et al。2013、Schulman et al。2014）。

  • 微分平坦度を利用するアプローチは、それらが高次元の運動学的なものであるかのように動的システムを計画することを可能にする（Fliess et al。1995）。クワッドローターなどの興味深いロボット（Sreenath et al。2013）はこの方法で扱うことができますが、固定翼飛行機などの他のシステムはこのアプローチには適していません。

  • 検索ベースの方法は、状態空間の離散化上の経路を計算しますが、解像度に指数関数的に依存します（Sahar＆Hollerbach 1985、Shiller＆Dubowsky 1988、Barraquand＆Latombe 1993）。それらはまた、力学系を含む研究の活発な分野に対応する（Likhachev＆Ferguson 2009）。

多項式時間検索ベースの近似フレームワークは、「キノダイナミック」計画の概念を導入し、それを動的点質量について解き（Donald et al。1993）、それからそれをより複雑なシステムに拡張した（Heinzinger et al。1989、Donald）。 ＆Xavier 1995）この研究は、キノダイナミックプランニングのためのサンプリングベースのアルゴリズムに影響を与えました。

Sampling-based Planners: これらのアルゴリズムは、計算上困難な構成空間の障害を明示的に表すことを避けます。それらは代わりに頂点をサンプリングし、それらを衝突のない状態空間内のローカルパスと接続して、グラフデータ構造をもたらします。最初の一般的なサンプリングベースのアルゴリズムである確率的ロードマップ法（PRM）（Kavraki et al。1996）は、ランダムサンプリングを使用してロードマップを事前計算し、次にそれを使用して複数のクエリに回答します。 RRT-Connectは木を返し、個々の質問に素早く答えることに焦点を当てています（Kuffner＆Lavalle 2000）。双方向ツリーの変種はパフォーマンスの向上を実現します（Sanchez＆Latombe 2001）。これらの解決法はすべて、障害物を無視して2つの状態をローカルパスに接続するステアリング機能を必要とします。対称性を持つシステムでは、2つの状態間のギャップを埋めるための数値的方法を使用して双方向ツリーを接続することが可能です（Cheng et al。2004、Lamiraux et al。2004）。ステアリング機能を必要としない２つのサンプリングベースの方法は、ＲＲＴ拡張（ＬａＶａｌｌｅ＆Ｋｕｆｆｎｅｒ ２００１ａ）および拡張空間木（ＥＳＴ）である（Ｈｓｕら、２００２）。それらはダイナミクスを時間的に先に伝播するだけであり、障害物の配置に関係なく状態空間を均等かつ迅速に探索することを目的としています。上記のすべての方法について、確率論的完全性はある条件下で議論される可能性がある（Kavrakiら（1998）、Hsuら（1998）、Ladd＆Kavraki（2004））。これらのアプローチの変種は、失敗したノード拡張の割合を減らすこと（Cheng＆LaValle 2001）、または適応状態空間細分割を適用することによってメトリック依存性を減らすことを目的としています（Ladd＆Kavraki 2005b）。ヒューリスティック（Bekris＆Kavraki 2008）、ローカル到達可能性情報（Shkolnik et al。2009）、力学を局所的に線形化してメトリックを計算する（Glassman＆Tedrake 2010）、バランスをとるためのコストやバイアスを学習する人もいます。探査（Li＆Bekris 2010、2011）、またはグリッドベースの離散化を利用する（Plaku et al。2010、¹Sucan＆Kavraki 2012）。そのようなツリーベースの方法は、様々な興味深いドメインに適用されてきた（Frazzoliら2002、Branickら2006、Zuckerら2007）。 RRTは迅速に解決策を返すのに効果的ですが、次善の解決策に収束します（Nechushtan et al。2010）。

From Probabilistic Completeness to Asymptotic Optimality: 経路品質を改善するためにヒューリスティックを採用しているが（暫定的に最適ではない）、いくつかのRRTの亜種（Ferguson＆Stentz 2006）。 PRM やRRT などのロードマップベースのアプローチが漸近的最適性を達成できることを厳密に示すために、ランダムグラフ理論を利用することによって重要な進歩が達成されました（Karaman＆Frazzoli 2011）。要件は、ステアリング関数を使用して、ノードの総数の関数として、少なくとも対数の近傍との接続について、各新しいサンプルをテストする必要があることです。 RRT のいつでも（Karaman et al。2011）およびlazy（Alterovitz et al。2011）変種も提案されています。現在の研究を鼓舞するスパースロードマップを使用して漸近的に最適に近いことを提供する技術もある（Marble＆Bekris 2011、2013、Dobsonら2012、Dobson＆Bekris 2014、Wangら2013、Shaharabaniら2013）。 。スパースツリーは、フィードバックベースのモーションプランニングのコンテキストで表示されます（Tedrake 2009）。もう1つの作業は、パフォーマンスを向上させるためのLazy PRM アプローチに従っています（Janson＆Pavone 2013）。システムの到達可能領域の控えめな見積もりを構築することができます（Karaman＆Frazzoli 2013）。この到達可能領域は、ダイナミクスの下で適切なメトリックを定義するのに役立ち、ここで説明されているアルゴリズムと組み合わせて使用​​できます。高品質のパスを返すことに焦点を当てている上記の方法はすべて、BVPソルバーを必要とします。

Towards Asymptotic Optimality for Dynamical Systems: RRT *の変形では、ステアリング機能なしで解を改善するために、図3に示す「射撃」アプローチを利用します（Jeon et al。2011）。ノードｂから短い距離内でノードａから状態ｂ０へ伝播し、ｂ０へのコストがより小さい場合、ｂは枝刈りされ、ａからｂ０への辺が追加される。 bのサブツリーはb0から再伝播されます。衝突が発生すると、ノードが枝刈りされる可能性があります。この方法は漸近的最適性を証明することは証明できません。 bとb0の間のギャップを減らすための数値的方法と統合することができます。ここに提示された方法は形式的な保証を達成します。 「射撃」の変形と比較して改善された計算性能が実験結果に示されている。 最近の研究では、線形または線形化可能なダイナミクスを持つシステムのローカルプランナーを提供しています（Webb＆van Den Berg 2013、Goretkin et al。2013）。厳密なステアリング機能の使用を回避することに対する最近の努力もある（Jeon et al。2013）。本論文のアルゴリズムは線形力学をもつシステムを超えて適用可能であるが、そのようなシステムに対して効率的な漸近的に最適に近いソルバーを提供するために上記の方法と組み合わせることもできる。

Closely Related Contributions: ここに提示された作品の初期のバージョンは以前に現れました。当初、提案されたアルゴリズムのより単純なバージョンが提案され、Sparse-RRTと呼ばれていました（Littlefield et al。2013）。この方法では良好な実験的性能が達成されたが、望ましい性質を正式に主張することは不可能であった。これは、フォローアップ研究におけるSTABLE_SPARSE_RRT（SST）とSST *の開発を動機づけた（Li et al。2014）。これらの方法は、キノダイナミックプランニングに対して漸近的（ほぼ）最適性を正式に達成する。この論文で拡張された分析を紹介したのは、同じ論文です。著者によるこれらの初期の努力を与えられて、この論文は以下の貢献を提供します：

・4.1節でステアリング機能を持たないサンプリングベースのプランナを用いた漸近的（近）最適性の一般的枠組みについて述べる。 SSTとSST *アルゴリズムは、このフレームワークの効率的な実装に対応しています。

•提案したアルゴリズムの枝刈り操作をサポートするように特別に設計された最近傍データ構造について、4.4節で初めて説明します。実装 性能を向上させるSSTおよびSST *の説明にガイドラインが導入されています（セクション4.2および7）。

•セクション5では、軌跡の継続時間ではなく一般的な費用関数の特性を議論することによって分析を拡張します。それはまた、以前の研究から欠けていた必要な証拠すべてを提供します。

•固定翼航空機の動的モデルのシミュレーションを含む追加の実験がセクション6で提供されています。最近傍データ構造がモーションプランナーに与える影響の評価もあります。

同時に行われた研究もあり（Papadopoulos et al。2014）、これは同様のアルゴリズムを提示し、それらがキノダイナミクス計画のために高品質の軌跡を返すことを実験的に主張している。それは、ＥＳＴの単純化、すなわちＮＡＩＶＥ＿ＲＡＮＤＯＭ＿ＴＲＥＥアプローチが漸近的に最適であるという主張を支持するための異なる方法を提供する。しかしながら、スパース表現を達成する効率的で実用的な方法の漸近的近最適特性は主張しておらず、対応するアルゴリズムの収束速度についても研究しておらず、また最近傍データ構造のようなそれらの実装のための効率的なツールも提供していない。ここで説明します。

3.Problem Setup

4.Algorithms

5.Analysis

6.Experimental Evaluation

7.Discussion and conclusion

最近、サンプリングベースの運動計画における焦点は、関連する方法の計算効率のバランスをとりながら、最適性保証を提供することに移った。動力学を有するシステムに対してこの目的を達成するためには、一般的に特殊なステアリング機能の生成が必要とされてきた。この研究は、完全にランダムな選択／増殖手順が、キノダイナミックシステムについて合理的な仮定の下で症状の最適性を達成することができることを示している。しかしながら、同じ方法は、高品質の解決策を見つけるための収束速度が非常に遅いので、時間の経過とともに経路改善を提供する方法の収束速度に主に焦点を合わせるべきであることを示している。

これらの問題に取り組むために、この研究は漸近的に最適なサンプリングベースの運動計画のための新しいフレームワークを提案しました。これまでの研究からの出発点は、最優先選択戦略とプルーニングプロセスの利用です。これにより、高品質のソリューションとスパースなデータ構造への素早い収束が可能になります。実験および分析結果は、このフレームワークの具体的な実施、すなわちＳＳＴアプローチの実行時間およびスペース要件が効率的であるが最適とは言えないＲＲＴのそれよりも優れていることを示している。このパフォーマンスの向上は、物理的にシミュレートされたシステムの場合を含む、さまざまなシナリオで見られます。

Parameter Selection: ＳＳＴの２つのパラメータ、すなわちδｓおよびδＢＮは、アルゴリズムの性能に直接影響を与える。 δｓ半径は、剪定ＳＳＴがどれだけ実行するかを制御するので、このパラメータが狭すぎる通路を通る経路を発見しないようにアルゴリズムを導き得るので、このパラメータを高く設定し過ぎないことが必要である。実際には、δｓは所与の問題事例から望まれる経路のクリアランスと同じ大きさにすることができる。目標に近いサンプルの生成を可能にするために、この値を目標領域の半径よりも小さくなるように選択することもまた有用である。ツリーデータ構造を適切に拡張できるようにするには、パラメータδBNをδsより大きくする必要があります。 δBNの値が大きすぎると、ルートに近いノードが繰り返し選択されるため、状態空間の探索が不十分になります。全体として、状態空間サイズ、δＢＮ、およびδｓ間のバランスは、良好な性能を達成するために維持されなければならない。 ＳＳＴ ＊手法は、δｓおよびδＢＮに対してかなり任意の大きな値を使用して探索を開始することを可能にし、それはその後時間とともに自動的に減少する。

Finite-time Properties: SSTは比較的小さいデータ構造を維持し、限られたスペースでは有限サイズのデータ​​構造になるため、論じることができる有限時間特性を考慮することは興味深いです（Dobson＆Bekris 2013）。これは、証人セットSが空きスペースをカバーできる割合に大きく依存します。この最初のカバレッジの後、既存のパスの品質を調べることが可能かもしれません。

Planning under Uncertainty: ステアリング機能の要件を取り除くことで、SSTはステアリング機能を構成するのが難しい他の問題にも適用できます。これらの分野の1つは、計画が確信空間で実行される不確実性の下での計画です。この領域で2つの確率分布を結ぶステアリング関数を計算することは困難ですが、順方向伝播は対応する信念を更新できます。この領域にSSTを適用する際のいくつかの課題は、最良の最初の操作と枝刈り操作、および問題の次元の増加のために適切な距離メトリックを計算することを伴います。この論文で述べられている方法との関連で、Earth Moverの距離に基づく適切な関数が不確実性の下で計画を立てる際の効率的な解決策につながることができることが示されました。 2015）。これは結局、キノダイナミクスおよび非prehenile操作（例えば、押したり、投げたり、引っ張ったりなど）のような重大な不確実性を含む重要な問題へのそのような解決策の適用を導くことができる。

Feedback-based Motion Planning: 別の拡張は、フィードバックベースの運動計画、および計算された軌道が動的に安定していると主張する能力に関する。 現在の研究は、サンプリングベースのキノダイナミックプランニングにおける文献の大部分に従っており、名目上の軌跡のみを提供しており、フィードバックベースの計画または方針は提供していない。 ＬＱＲ木に関する研究のように、フィードバックベースの運動計画の文脈においてサンプリングを利用する研究がある（Ｔｅｄｒａｋｅ ２００９）。 それにもかかわらず、現実的で比較的高次元の動的ロボットシステムに関しては、フィードバックベースの解決策の最適性について議論することは通常困難であった。 このように、興味深い研究の方向性は、フィードバックに基づく計画の中でそのような保証を提供することが可能になる条件を特定することです。

Real-world Experiments and Applications: 大きなダイナミクスを持つ実際のシステム、特に積極的な操縦を行う航空システムや物理エンジンを使用してモデル化されたシステムに対するアプローチの有効性を評価することも重要です。 例えば、将来の惑星探査ミッションはより有能なローバーを巻き込むかもしれません。 彼らは潜在的に短期間の弾道の軌跡を取得し、低重力環境で高速で移動する機能を持つことになります。 このように、ダイナミクスについての推論は計画プロセスの間により重要になります。 ＳＳＴは、経路長、エネルギー消費量、または搭載されているセンサペイロードの感度に関して経路を最適化するために、この分野において有用であり得る。

Locomotion and Dexterous Manipulation: ＳＳＴが使用され得る他の潜在的な研究分野には、移動および器用な操作が含まれる。これらの課題は、物体間の接触のモデルを使用した計画、および移動システムの平衡化またはマニピュレータのための握りの安定性などの物理的考察を含む。摩擦と質量の効果をモデル化するために物理エンジンを使用することは、ここでは役に立ちます。上で実証されたように、ＳＳＴは、物理エンジンが使用されるときに経時的に改善する制御シーケンスを提供する。それにもかかわらず、連絡先の存在は、現在提示されている分析では扱われていない重要な複雑さをもたらします。特に、提供された結果の一般化を複雑にする2つの重要な仮定があります。 liveはd次元ユークリッド空間の滑らかな部分集合です。これらの仮定は、剛体力学およびスティックスリップ摩擦のモデルを考慮することを可能にしません。これらは、移動および器用な操作の有用な理想化です。このような系はジャンプ不連続性を示し、一般に式１の形の表現では表すことができない。局所的なユークリッドではない空間における課題に対処することが可能であるかどうかという問題もある。 接触制約によって生成された多様体を研究することは興味深いでしょう。そのような多様体は代数多様体であり得、それは滑らかである必要はない。さらに、そのような多様体は、指の歩行や移動の問題が実際には一次元の多様なものには存在しないが、より高次元の周囲状態空間における層状集合には存在しないので、異なる次元であり得る。これらの問題は、器用な操作および移動システムの適切なモデルに対して漸近的最適性保証を示す一般的なサンプリングベースのアルゴリズムを提供する方向へのさらなる研究を動機付ける。

Reference * Sparse Methods for Efficient Asymptotically Optimal Kinodynamic Planning * SST/SST* オリジナル？ * http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=2FAD588F202C3D5D8AD7212A61199037?doi=10.1.1.711.8659&rep=rep1&type=pdf * 2014 WAFR